斯托克斯定理 Stokes Theorem
斯托克斯公式多么好看呀。
先准备一些微分几何的知识。
（1）设 \(M\) 是豪斯多夫空间（任意不同的两点一定存在不相交的邻域），若对任意一点 \(x\in M\)，都存在一个邻域同胚于 \(n\) 维欧几里得空间 \(\R^n\) 的一个开集，则称 \(M\) 是一个 \(n\) 维流形。
（2）给定一个向量 \(\vec v\)，如果存在一个映射 \(\vec u\)，它将 \(\vec v\) 映射为一个实数，就称 \(\vec u\) 是 \(\vec v\) 的对偶向量。因此向量和对偶向量的相互作用可以看作内积。切向量的对偶向量称作余切向量。
（3）定义流形 \(M\) 上的一个余切向量场为一个 \(1\) - 微分形式。考虑到方向导数 \(\vec v f=\vec v\cdot\nabla f\)，梯度作为余切向量，我们将 \(1\) - 形式写作 \(\text df\)。
（4）\(k\) - 形式记作 $\omega=\sum a_I\text dx^I $，其中 \(\text dx^I=\text dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge\text dx^{i_k}\), \(\wedge\) 为外积运算。
接下来让我们仔细端详一下 \(\omega\)。
对于 \(k\) - 形式 \(\omega=\sum a_I\text dx^I\)，定义它的外微分
\[\text d\omega=\sum \text da_I\wedge\text d x^I \]这是一个 \((k+1)\) - 形式。
直观感受一下：
\( (1)\quad \omega=f \)
\[\text d\omega=\frac{\partial f}{\partial x}\text dx+\frac{\partial f}{\partial y}\text dy+\frac{\partial f}{\partial z}\text dz \]\( (2)\quad \omega=P\text dx+Q\text dy+R\text dz \)
\[\text d\omega=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\text dy\wedge\text dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\text dz\wedge\text dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text dx\wedge\text dy \]\( (3)\quad\omega=A\text dy\wedge\text dz+B\text dz\wedge \text dx+C\text dx\wedge\text dy \)
\[\text d\omega=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)\text dx\wedge\text dy\wedge\text dz \]梯度对应 \(0\) - 形式的外微分，旋度对应 \(1\) - 形式的外微分，散度对应的是 \(2\) - 形式的外微分。
于是我们将牛顿/莱布尼茨 - 格林 - 高斯 - 斯托克斯四大公式统一为一个公式
\[\int_{\partial M}\omega=\int_M \text d\omega \]它的含义是沿流形边界的微分形式的积分等于该微分形式的外微分在整个流形的积分。
是不是巨简洁
由庞加莱引理
\[\text d^2(\omega)=0 \]梯度无旋/旋度不散是不是很显然（⌒▽⌒）
\[\begin{aligned} &\nabla\times(\nabla f)=0\\ &\nabla\cdot(\nabla\times\vec F)=0 \end{aligned} \]